حل العمليات على المتجهات في الفضاء

حل العمليات على المتجهات في الفضاء وإيجاد الضرب الاتجاهي لمتجهين وتعريف المتجهات وخصائص المتجهات، هذا ما سوف نتعرف عليه فيما يلي.

حل العمليات على المتجهات في الفضاء

1-جمع المتجهات
يمكنك أن تجري عملية جمع المتجهات من خلال الطريقة البيانية والطريقة الحسابية وسأبين لك كل منهما فيما يأتي:
-الطريقة البيانية:
لو فرضنا أن لديك متجهان الأول هو a، والثاني هو المتجه b ، يمكنك أن تجري عملية الجمع بينهما ( a + b)، من خلال رسم المتجه a بمقداره واتجاهه الصحيح، ومن ثم تضع ذيل المتجه b على رأس المتجه a ونرسمه، ومن ثم نرسم خطًا بدايته في في ذيل a ونهايته في رأس b، ويكون ذدا الخط الناتج هو مجموع المتجهين.
-الطريقة التحليلية:
بعد تحليل المتجهين المراد جمعهما إلى مركباتها السينية والصادية والزينية، نقوم بجمعهما من خلال جمع المركبات المتشابهة كما يأتي:
a = ax +ay +az
b = bx + by +bz
a+b= (ax+bx)+(ay +by) +(az +bz)
2-طرح المتجهات
طرح المتجهات هي نفسها عمليّة جمع المتجهات مع فرق بسيط، فبدل جمع متّجهين نقوم بإضافة المتجه الأول إلى سالب المتجه الثاني. وهنا يجب أن تتعلم ما هو سالب المتجه؛ حيث أن سالب المتجه يكون من خلال عكس اتجاهه مع بقاء قيمته نفسها.
3-ضرب المتجهات
هناك نوعان لضرب المتّجهات؛ وهذان النوعان هما الضرب القياسي ونسميه الضرب النقطي، والضرب المتجهي ونسميه أيضًا الضرب التقاطعي، حيث أننا عندما نضرب متجهين ضربًا نقطيًا، فإن الناتج سوف يكون كميّة قياسيّة، أي لها مقدار وليس لها اتجاه، ولهذا يُعرَف هذا النوع من الضرب بالضرب القياسيّ، أما عندما نقوم بضرب متجهين ضربًا تقاطعيًا، سيكون الناتج متجهًا عموديًا على كل من المتّجهين الضروبين؛ ولهذا السبب يُعرَف بالضرب الاتّجاهي.
إلى هنا نكون قد وصلنا إلى خاتمة المقال، وكتبنا فيه بحث عن المتجهات في الفضاء الثلاثي الابعاد وشرحناه بالتفصيل، كما وضحنا ابتداءً مفهوم الكمية المتجهة وطريقة إجراء العمليات الأساسية عليها من الجمع والطرح والضرب بكل الأنواع.

إيجاد الضرب الاتجاهي لمتجهين

-الضرب الاتجاهي عملية يمكن إجراؤها على متجهين فتُنتِج متجهًا آخَر.
-يُستخدَم الضرب الاتجاهي في العديد من مجالات الفيزياء المختلفة. ومن ذلك حساب عزم الدوران المؤثِّر على جسم.
ا-فترض أن لدينا عجلة سيارة يمكن أن تدور حول محورها. وتؤثِّر القوة ? على العجلة عند نقطة تقع على حافة العجلة. ويُمثِّل ?
-المتجه الواصل من مركز العجلة إلى النقطة التي تؤثِّر عندها القوة.
-وتؤثِّر هذه القوة مماسيَّةً على العجلة.
-إذا كان مقدار القوة ،ومقدار المتجه الواصل من مركز العجلة إلى النقطة التي تؤثِّر عندها القوة؛ أي نصف القطر ?،فإن عزم الدوران المؤثِّر على العجلة ?يساوي ? مضروبًا ف ?=??
-لكن ماذا لو لم تؤثِّر القوة مماسيَّةً على العجلة؟ يوضِّح الشكل الآتي الحالة نفسها، ولكن بقوة تصنع الزاوية ? مع المماس
-في هذه الحالة، لا يمكننا استخدام ?=?? لحساب عزم الدوران المؤثِّر على العجلة. وبدلًا من ذلك، يمكننا استخدام الضرب الاتجاهي للمتجهين ? وو? لإيجاد عزم الدوران.

خصائص المتجهات

-المتجهات متساوية من حيث الطول و المقدار على سبيل المثال إذا كان طول المتجه الأول أو السهم الأول خمس سم لابد و ان يكون -المتجه أو السهم الأخر خمس سم مع تحديد المسافة بين المتجهين و أن تكون المسافة متساوية ليكون المتجه واحد
-يجب أن يتم جمع المتجهات المتشابهة مع بعضها البعض أى أن تكون كافة المتجهات السينية مع بعضها و المتجهات الصادية مع بعضها و العينية مع بعضها و يكون الناتج حاصل جمع المركب الأخير
-المتجه السالب هو جمع المتجهات السالبة
-ضرب و جمع المتجهات للحصول على نتائج قطعية أو قياسية
-اذا اختل شرط مما سبق يعتبر المتجه مختلف بمعنى إذا كان السهم الأول خمسة سم و الأخر 4 سم سيكون الاتجاه الاول مشار لمتجه الشمال و المتجه الثانى للشمال الشرقى

تعريف المتجهات

المتجهات هى الشيء المطلوب لعملية نقل النقطة ” أ ” إلى النقطة ” ب ” ، و تم استخدام مصطلح المتجهات لأول مرة من خلال علماء الفلك في القرن الثامن عشر و الذين كانوا يبحثون في دراسة الكواكب و الشمس ، إن حجم المتجهات يشير إلى المسافة بين نقطتين و يشير كذلك إلى اتجاه النقل من النقطة ” أ ” إلى النقطة ” ب ” .
جميع العمليات الجبرية الرياضية التي يتم عملها على الأعداد الحقيقية مثل الطرح و الجمع و الضرب يكون لها نظائر قريبة من المتجهات أو النواقل ، و المفهوم الأكثر شمولية للمتجهات أو النواقل هو أنها عدد من عناصر المساحة الناقلة ، و تفيدنا المتجهات كثيرا في الكثير من الدراسات العلمية حيث أنه لا يكفي قياس قوة معينة بل يجب معرفة مقدار هذه القوة و اتجاهها كذلك .