أنواع المصفوفات في الجبر الخطي

أنواع المصفوفات في الجبر الخطي، وتعريف المصفوفات وانواعها، وخواص المصفوفات، وأهمية المصفوفات، نتناول الحديث عنهم بشيء من التفصيل خلال المقال التالي.

أنواع المصفوفات في الجبر الخطي

1. المصفوفة القطرية
هي المصفوفة المربعة التي جميع عناصرها خارج القطر الرئيسي تساوي صفر، وتسمى المصفوفة المربعة التي جميع عناصرها فوق القطر الرئيسي تساوي صفر بالمصفوفة المثلثية السفلى، أما التي جميع عناصرها أسفل القطر الرئيسي تساوي صفر فتسمى المصفوفة المثلثية العليا.
2. المصفوفة المتناظرة
A هي المصفوفة التي تساوي منقولتها أي، AT = A، بحيث تكون خواص المصفوفة المتناظرة: لتكن A و B مصفوفتان متناظرتان وسعة كل منهما n x n فإن: AT متناظرة، (A+B) متناظرة، وKA متناظرة (K ثابت) .
3. المصفوفة المستطيلة Rectangular Matrix
هي مصفوفة عدد صفوفها لا يساوى عدد اعمدتها ومثال ذلك: أ= مصفوفة مستطيلة من الدرجة (3×2 )، ب= مصفوفة مستطيلة من الدرجة (3×4)، ومن أمثلة المصفوفة المستطيلة؛ مصفوفة الصف الواحد، مصفوفة العمود الواحد كما سنرى بعد قليل.
4. مصفوفة الوحدة Identity Matrix
وهى مصفوفة مربعة كل عنصر من عناصر قطرها الرئيسي يساوى الواحد الصحيح، وباقي عناصر المصفوفة أصفار. ويرمز لها بالرمز I مثال ذلك: I= ويرمز لها بالرمز I2 .I= ويرمز لها بالرمز I3 ، I = ويرمز لها بالرمز I4.
5. المصفوفة القياسية Scalar Matrix
هي مصفوفة مربعة عناصر قطرها الرئيسي متساوية القيمة وباقي عناصرها أصفار فمثلاً:
أ= مصفوفة قياسية من الدرجة (2×2 )، ب= مصفوفة قياسية من الدرجة (3×3)، حيث ك مقدار حقيقي، ك صفر وتجدر الإشارة هنا أن المصفوفة القياسية = ك × مصفوفة الوحدة من نفس الدرجة.
6. المصفوفة الصفرية Null Matrix
هي مصفوفة جميع عناصرها أصفار وقد تكون المصفوفة الصفرية مربعة أو مستطيلة.
7. مصفوفة الصف الواحد (متجه الصف) Row Vector
وهى مصفوفة مستطيلة تحتوى على صف واحد وأي عدد من الأعمدة وأمثلة ذلك: أ = متجه صف من الدرجة (1×2)، ب = متجه صف من الدرجة (1× 4)، جـ = متجه صف من الدرجة (1× ن).
8. مصفوفة العمود الواحد (متجه عمود) Column Vector
وهى مصفوفة مستطيلة تحتوى على عدة صفوف وعمود واحد فقط وأمثلة ذلك: أ= متجه عمود من الدرجة (3× 1)، ب= متجه عمود من الدرجة (4× 1)، جـ = متجه عمود من الدرجة (ن × 1).

تعريف المصفوفات وانواعها

– في الرياضيات، المصفوفة (بالإنجليزية: Matrix)‏ هي مجموعة مستطيلة من الأعداد أو من الرموز أو من التعبيرات منتظمة بشكل أعمدة وصفوف. يُدعى كل عنصر من هذا المجموعة بعنصرٍ أو مدخلٍ للمصفوفة، فيما يلي، على سبيل المثال، مصفوفة تحتوي على صفين وعلى ثلاثة أعمدة: مثالا على المدخلات في المصفوفة أعلاه 1, 9, 13, 20, 55 ,4. يدل عادة على أي مدخل في مصفوفة ما باسم المصفوفة بحرف لاتيني صغير وأسفله رقمين صغيرين بحيث يمثل العدد الأول رقم الصف والثاني رقم العمود مثل الشكل المرفق.
– يعرف عدد الأسطر في عدد الأعمدة برتبة المصفوفة أو قياس المصفوفة، مثال ذلك المصفوفة المحتوية على 4 أسطر و 3 أعمدة قياسها هو 4*3 ويمكن إجراء عمليتي الجمع والطرح على المصفوفات المتساوية القياس. كما يمكن ضرب المصفوفات بانسجام معين في القياس، ولهذه العمليات العديد من خصائص الحساب العادي، باستثناء أن ضرب المصفوفات ليس بعملية تبديلية، وبشكل عام يمكن أن نقول أن A.B لا يساوي B.A. تعرف المصفوف المؤلفة من صف واحد أو عمود واحد بمتجه. أما المصفوفة ذات القياس الأكبر تعرف بموتر.
– تعتبر المصفوفات من إحدى أهم مفاتيح الجبر الخطي. فيمكن أن تستخدم المصفوفات في حل النقل الخطي. يتوافق ضرب المصفوفات مع النقل الخطي الدالة المركبة. كما يمكن للمصفوفات تتبع المعاملات في نظام المعادلات الخطية
– يمكن تعريف المصفوفة عامة على أنها دالة رياضية خطية تحول مجموعة بداية أي انطلاق (مجال) إلى مجموعة وصول أو نهاية (مدى)، مجموعة الانطلاق والوصول يمكن أن تكون متكونة من أعداد صحيحة أو عقدية أو أشعة من الأعداد كما يمكن أن تكون هاتان المجموعتان متكونة بدورها من دالات رياضية أو أشعة دالات رياضية، وتتمثل أنواعها في 8 أنواع المصفوفة القطرية، المتناظرة، الصفرية، المستطيلة، الوحدة، القياسية، مصفوفة العمود الواحد، ومصفوفة الصف الواحد.

خواص المصفوفات

1. تساوي المصفوفات
تتساوى المصفوفتان A,B وتكتب (A=B) اذا كان:
– كل من A,B من القياس نفسه.
– كل عنصر في A يساوي نظيره في الموقع B.
2. ضرب المصفوفات بأعداد
اذا كانت A مصفوفة وكان K عددا حقيقيا فأن حاصل ضرب A في K يكتب KA او AK هو المصفوفة الناتجة من ضرب جميع عناصر A في K ويمكن أن نعرفها كما يأتي: اذا كان A=(aij)فأن KA=AK=(Kaij)
3. جمع وطرح المصفوفات
يمكن جمع المصفوفتين A=(aij) , B=(bij) اذا كانتا من نفس السعة ويكون ناتج الجمع مصفوفة ويرمز لها بالرمز A+B ونحصل عليها بجمع العناصر المتناظرة في المصفوفتين أي ان: A+B=(aij + bij)
ولا تعرف عملية الجمع لمصفوفتين اذا كانتا من سعتين مختلفين.

أهمية المصفوفات

تتمثل أهمية المصفوفات في السطور التالية:
تُستخدم المصفوفات وتطبيقاتها في معظم المجالات العلمية، في كل فرعٍ من فروع الفيزياء مثل الميكانيكية والبصريات الهندسية والكهرومغناطيسية وميكانيك الكم ولدراسة الظواهر الفيزيائية مثل حركة الأجسام الصلبة وأيضًا في رسومات الكمبيوتر ومعالجة النماذج الثلاثية الأبعاد وعرضها على شاشةٍ ثنائية الأبعاد، كما تستخدم في نظريات الاحتمالات والإحصاء، وفي الاقتصاد تستخدم لوصف أنظمة العلاقات الاقتصادية.