أهمية المصفوفات

أهمية المصفوفات وتعريف المصفوفة وأنواع المصفوفات وخصائص المصفوفات، هذا ما سوف نتحدث عليه في تلك المقالة.

أهمية المصفوفات

1-تدخل في دراسة الكثير من الظواهر الفيزيائية، كما يتم استخدامها في كثير الرسومات خصوصًا ذات البعد الثلاثي.
2- كما تُعد المصفوفات من أكثر الأمور المستخدمة في كثير من التطبيقات العلمية مثل الفيزياء، والمجالات البصرية، والهندسية.
3- وتُستخدم أيضًا في نظريات الاحتمالات المختلفة، والإحصاء وتُستخدم في التعبير عن الكثير من الأنظمة الاقتصادية.
4-الرسومات على الكمبيوتر في حلول الخوارزميات وترتيب الصفحات.
5-فهم المفاهيم الخاصة بالتحليلية الكلاسيكية مثل الدلات الأسية والمشتقات بأبعاد عالية.
6-تستخدم في معالجة الكثير من التحولات الخطية لعرض الصور.
7-الكثير من المجالات الأخرى المهمة

تعريف المصفوفة

هي مجموعةٌ من الأرقام مرتبةٌ في عددٍ من الصفوف والأعمدة، عادةً تكون هذه الأرقام حقيقيةً ويمكن أن تكون معقدةً.
كما يمكن تعريفها بشكلٍ عام بأنها دالة رياضية خطيّة تحول مجموعة بداية أي منطلقٍ، إلى مجموعة وصول أو نهاية (مستقر).
مجموعة المنطلق والمستقر يمكن أن تكون مكونةً من أعدادٍ صحيحةٍ أو عقدية أو أشعة من الأعداد، كما يمكن أن تكون هاتان المجموعتان مكونتان من دالاتٍ رياضيةٍ أو أشعة دالات رياضية، ونرمز للمصفوفة بقوسين مربعين كبيرين أو هلالين يُكتب ضمنها عناصر المصفوفة.

أنواع المصفوفات

1- المصفوفة المستطيلة:
وهي المصفوفة التي عدد صفوفها لا يساوي عدد أعمدتها وقد يكون م > ق أو م < ق.
2- المصفوفة الصفرية(null or matrix):
إذا كانت كافة عناصر المصفوفة (سواء كانت مستطيلة أو مربعة) تأخذ القيمة (صفر) فيطلق عليها المصفوفة الصفرية.
3-المصفوفة القطرية (Diagonal matrix):
وهي مصفوفة مربعة جميع عناصرها تأخذ القيمة (صفر) ما عدا عناصر القطر الرئيسي، وهو القطر الذي يبدأ من الشمال الشرقي إلى الجنوب الغربي للمصفوفة فيأخذ قيماً لا تساوي الصفر وتختلف كلها أو بعضها في القيم الحسابية.
4-مصفوفة الوحدة (unit matrix):
وهي مصفوفة مربعة أيضاً وجميع عناصر صفوفها وأعمدتها تأخذ القيمة (صفر) ما عدا عناصر القطر الرئيسي فيأخذ القيمة (1) وهذا هو أساس الإختلاف بينها وبين المصفوفة القطرية.
5-مصفوفة المتجهات (vectors matrix):
وهي مصفوفة تتكون من صف واحد وعدة أعمدة وفي هذه الحالة يسمى متجة صف (Row vector) في حين لو تكونت هذه المصفوفة من عمود واحد وعدة صفوف سمى متجه عمود(Celumn vector) .
6-المصفوفة المبدلة (Transpose matrix):
إذا كان لدينا مصفوفة (أ (م × ق)) أي عدد صفوفها (م) وعدد أعمدتها (ق)، وتم استبدال عناصر الصفوف بعناصر الأعمدة بنفس الترتيب أو العكس فإن المصفوفة الجديدة ولتكن (أ′) يطلق على هذه المصفوفة (أ′ (م × ق) بالمصفوفة المبدلة.
7-المصفوفة المتماثلة (Symmetric matrix):
إذا كان هناك مصفوفة مربعية (أ (م × ق)) وتم إستبدال عناصر صفوفها بعناصر أعمدتها بنفس الترتيب أصبحت مصفوفة مبدلة (أ′ (م × ق)) وإذا لم تتغير قيم العناصر المتناظرة في كل منها عن الأخرى بعد الإجراء السابق فيطلق على مثل هذه المصفوفة بالمصفوفة المتماثلة. ومن الممكن أن تتم ملاحظة على مثل هذه المصفوفة أيضاً هو أن العناصر المتناظرة فيها أعلى وأسفل القطر الرئيسي تكون متماثلة.
8-المصفوفة القياسية (Scarler Matrix):
وهي عبارة عن مصفوفة واحدة (I)، مضروب عناصر قطرها الرئيسي × رقم قياسي محدد، وينتج عن ذلك المصفوفة القياسية ونلاحظ أن عناصر القطر الرئيسي متساوية في القيمة.
9- المصفوفة الشاذة أو المنفردة (Singular matrix):
وهي مصفوفة مربعة نجد أن محدد عناصرها = صفر فمثلاً: لكن إذا كان محدد المصفوفة ≠ صفر فيطلق عليها مصفوفة غير شاذة أو غير منفردة.
10-المصفوفة المربعة(square matrix): وهي المصفوفة التي عدد صفوفها يساوي عدد أعمدتها.

خصائص المصفوفات

1-الهوية المضافة
لنفترض أن A = [a ij] مصفوفة m × n وO تكون مصفوفة m × n صفرية، ثم A + O = O + A = A. فتعتبرO هي الهوية المضافة لجمع المصفوفة.
2-قانون التبادل
إذا كان A = [a ij]، B = [b ij] لهما نفس الترتيب والحجم هو m × n، ثم A + B = B + A. فيمكن أن يتم التبادل بين المصفوفات في الجمع.
3-المعكوس الإضافي
مثلا لدينا A = [a ij] m × n أي مصفوفة، ومصفوفة أخرى مثل – A = [–a ij] m × n بحيث تكون A + (–A) = (–A) + A = O. – A هو المعكوس الجمعي لـ A أو سالبA.
4-قانون الجمع
لدينا ثلاث مصفوفات A = [a ij]، B = [b ij]، C = [c ij] لهما نفس الترتيب وهو m × n، (A + B) + C = A + (B + C).