خصائص ضرب المصفوفات، ورتبة ضرب المصفوفات، وشرح ضرب المصفوفات، وتعريف المصفوفات وأنواعها، وتاريخ المصفوفات، وأهمية المصفوفات، عيوب المصفوفات، نتناول الحديث عنهم بشيء من التفصيل خلال المقال التالي.
محتويات المقال
خصائص ضرب المصفوفات
هناك بعض الخواص الخاصة بضرب المصفوفات العادي منها ما يلي:
1. يمكن عمل استثناء عندما تكون المصفوفتين قطريتين، وذلك فإن قمنا بها تكون عملية الضرب تبديلية.
2. عملية ضرب المصفوفات تعتبر عملية تجميعية، حيث أن: (AB)C=A(BC)/ أما إن كانت عملية ضرب المصفوفات هي عمليه توزيعية فسوف تكون: A(B+C)=AB+AC أو A+B)C=AC+BC).
رتبة ضرب المصفوفات
في الرياضيات، ضرب المصفوفات (بالإنجليزية: Matrix multiplication) هي عملية ثنائية تأخذ مصفوفتين اثنتين مدخلا لها وتعطي مصفوفة ثالثة. عناصر هذين المصفوفتين ينتمين إلى حقل، أو بصفة عامة إلى حلقة أو حتى إلى نصف حلقة.
شرح ضرب المصفوفات
1. حاصل ضرب مصفوفة من الرتبة m×k في مصفوفة k×n (أي أن عدد أعمدة المصفوفة الأولى يساوي عدد أعمدة المصفوفة الثانية ) هو مصفوفة من الرتبة m×n، وكل عنصر من عناصرها هو حاصل ضرب الصف الموافق له من المصفوفة الأولى في العمود الموافق له من المصفوفة الثانية، ويجب علينا مراعاة ما يلي قبل أن نبدأ عملية الضرب في المصفوفتين:
– لكي نضرب مصفوفة A في مصفوفة أخرى B يجب أن تكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى مساويا لعدد صفوف المصفوفة الثانية.
– إذا كانت المصفوفة الأولى من الشكل m×n والأخرى من الشكل n×k فإن حاصل الضرب مصفوفة من الشكل m×k، أي أن الناتج مصفوفة بالشكل (عدد صفوف الأولى × عدد أعمدة الأخرى).
– قد يكون الضرب غير ممكن وذلك في حالة أن عدد الأعمدة للمصفوفة الأولى لا يساوي عدد الصفوف للمصفوفة الأخرى.
تعريف المصفوفات وأنواعها
المصفوفة تسمى Array في اللغة الإنجليزية، يمكنك تصوّر المصفوفة كمتغير واحد بإمكانه تخزين عدة قيم, إذاً المصفوفة كأنها متغير واحد يحتوي على عدة خانات، والخانة في المصفوفة تسمى عنصر (Element), و بالتالي المصفوفة عبارة عن متغير واحد يتكون من عدة عناصر (Elements)، وتكون أنواعها كما يلي:
1. يمكن للمصفوفة أن تكون أحادية أو ذات بعد واحد (One dimensional array) و هذا النوع يسمى Vector في مادة الرياضيات.
2. يمكن للمصفوفة أن تكون ثنائية أو ذات بعدين (Two dimensional array) و هذا النوع يسمى Matrix في مادة الرياضيات.
3. يمكن للمصفوفة أن تكون متعددة الأبعاد (Multidimensional array).
تاريخ المصفوفات
– استخدمت المصفوفات منذ تاريخ طويل في حلحلة المعادلات الخطية، فأقدم شكل لاستخدام المصفوفات في حلحلة المعادلات نص صيني يدعى الفصول التسعة في فن الرياضيات، كما تضمن مبدأ المحددات والذي يرجع تاريخه إلى ما بين 300 قبل الميلاد إلى 200 ميلادي.
– في سنة 1683 نَشر بحثا عن المصفوفات عالم الرياضيات الياباني سيكي تاكاكازو، بعد ذلك، نَشر بحوثا متعلقة بالمصفوفات العالم الألماني جوتفريد لايبنتز في سنة 1693. ومن ثم نشر غابرييل كرامر قواعده في الحساب سنة 1750.
– ركزت نظريات المصفوفات المبكرة على دور المحددات بدلا عن المصفوفات بشكل مستقل، ولم يظهر مفهوم المصفوفة بشكل مستقل حتى وقت حديث، في سنة 1858 مع أرثور كايلي ونظرياته حول المصفوفات.
– نظرية المصفوفات هي فرع الرياضيات الذي يركز على دراسة المصفوفات، فعليا يعتبر أحد فروع الجبر الخطي, ثم نمى ليغطي موضوعات ذات علاقة بنظرية المخططات والجبر، والتوافقيات والإحصاء.
– المصفوفة تمثل منظومة مستطيلة (rectangular array) من الأعداد.
– في سنة 1848، ابتكر مصطلحَ المصفوفة عالمُ الرياضيات الإنجليزي جيمس جوزيف سيلفستر اسما لمجموعة مرتبة من الأعداد.
– في 1855، قدم آرثر كيلي المصفوفة على أنها تمثيل لعناصر خطية، وقد اعتبرت هذه الفترة بداية الجبر الخطي ونظرية المصفوفات فعليًّا.
أهمية المصفوفات
تتميز المصفوفات بالكثير من الأهمية، حيث يمكن استخدامها في العديد من التطبيقات، مثل التطبيقات الرياضية أو في مجال العلوم، ومنها علم الفيزياء، فيمكن الاستفادة من تلك المصفوفات بصورة كبيرة، عن طريق التمثيل المضغوط لكمية من الأرقام بالمصفوفة، من خلال الاعتماد على بعض البدائل، بدلاً من إجراء الحسابات المعقدة، ومن النظريات التي يتم استخدامها بطريقة المصفوفات ما يلي:
1. الإحصاء والاحتمالات
وهي نظرية يتم تطبيقها على المصفوفات المربعة والعشوائية، من خلال ناقلات الاحتمالات ويتم عمل ذلك من خلال طريقة الإدخال غير القابلة للسلبية.
2. التماثلات والتحويلات
وهي من النظريات التي لها أهمية كبيرة وأساسية في مجال الفيزياء الحديثة ولاسيما فيما يخص مجال الجسيمات، نظرية الرسم البياني، نظرية التركيبات الخطية، نظرية التحليل والهندسة، نظرية البصريات الهندسية، ونظرية الإلكترونيات.
عيوب المصفوفات
إلى جانب المميزات الكثيرة التي تختص بها المصفوفات، هناك أيضًا عدد من الجوانب السلبية لها وهي:
1. أول تلك الجوانب السلبية المتعلقة بالمصفوفات هو حجمها الثابت، وتظهر تلك المشكلة عند تخزينها، إذ يتم حجز مساحة مساوية لأكبر عدد من احتمالات العناصر التي قد تحتويها المصفوفة، وذلك بغض النظر عن عدد العناصر الحقيقة الموجودة بها، وبالتالي يمكن أن تكون هناك مساحات من بطاقة الذاكرة محجوزة ولكنها فارغة.
2. إضافة عنصر جديد للمصفوفة يعتبر أمر مكلف، سواء من ناحية الوقت أو من الناحية المادية.
3. من أهم تلك العيوب أنها قد تسبب بعض الاضطرابات للأفراد العاملين على مشروع معين.
4. يزعم البعض أن المصفوفات ذات طراز قديم لا تصلح للمشاريع والأعمال المتقدمة التي يشهدها العصر الحالي.
5. يمكن للمصفوفات أن تؤدي إلى إهدار كثير من الوقت خصوصًا في عمليات اتخاذ القرار، وذلك لأنها تؤدي إلى زيادة عدد العاملين بالإدارات المختلفة.
6. يرى بعض مسئولي الأعمال أن مبدأ المصفوفات يقلل من مبدأ الرقابة ويجعلها عملية صعبة.
7. يرجح الكثيرون أن استخدام المصفوفات يرفع من تكاليف المشاريع المختلفة.
